martes, 21 de agosto de 2012

FRACTALES: Una primera aproximación




En su momento me puse a buscar en sitios de internet para buscar información sobre fractales pero la verdad es que sus explicaciones, o bien se quedaban en algo muy liviano, o bien se introducían en aspectos un poco complicados de comprender para una primera lectura, especialmente para aquellos que no hayan realizado unos estudios de ciencias.

Con lo que viene a continuación espero ser lo bastante claro para aquel o aquella que tengan un simple y mero interés en conocer por encima lo que es un fractal, así como de dar una vista general con vistas a ampliarlas para aquellos que gozan del background necesario como para una mayor profundización del tema.


ORIGEN DEL NOMBRE

Un fractal es, lo primero de todo, un ente geométrico (se ha erniaó el tío). Comienzo de nuevo.
Un fractal es, entre otras muchas cosas, y digo entre otras muchas cosas porque luego te cuento, una figura que tiene muchos picos, que se "rompe", que es angulosa, y que por tanto, en las matemáticas, no se puede derivar, porque para derivar la ecuación de una curva se necesita que no sea picuda. De ahí, de cómo un fractal se va "rompiendo" y tiene picos o tiene formas iterativas no derivables es de donde surge su nombre, del latín "fractus" o "frangere" o algo así porque yo no tengo ni papa de latín y porque te lo digo de memoria. Pero bueno, eso es sólo el nombre y es cómo se puso. En realidad un fractal es mucho más. Más adelante se recogen las propiedades que debe cumplir un fractal para ser denominado como tal, pero antes te cuento otra cosa. Lo de que no se pueda derivar es importante porque los fractales lo que crean es una nueva geometría, alejada de la geometría diferenciable y no tanto de la euclídea como generalmente se piensa, y que se llama... geometría fractal (te esperabas algo más, eh?)



DIMENSIÓN FRACTAL

Una de las características más sorprendentes de los fractales es su dimensión. Lo mismo has escuchado eso de que un fractal tiene dimensión fraccionaria, es decir, que no tiene un número natural. No tiene dimensión 1, ni 2, ni 3, ni ná de eso. ¿Cómo puede ser te preguntarás? ¡Estos matemáticos están locos -gritó tu voz desgarrada mientras lo leías-! Pues bien, es como un acuerdo que se ha hecho para describir cierta propiedad que se explica en el siguiente párrafo. Se ha creado una nueva regla para calcular la dimensión de un objeto de tal forma que respete las que hasta ahora conocemos, es decir, que si tomamos esta forma de calcular dimensiones y se la aplicamos a un folio nos sale dimensión 2.

Y lo dicho, este tipo de cálculo de dimensiones se creó porque hay ciertos tipos de fractales (precisamente con los que se descubrieron estas cosas) en los que se da el caso de que una figura cerrada que se puede dibujar en un papel tiene un perímetro infinito (qué me comentas?), u otras, que aún siendo curvas, es decir, objetos de dimensión 1, llegan a cubrir superficies, esto es, objetos de dimensión 2; por lo que estas "paradojas" hicieron replantearse el concepto de dimensión y llamarles, ya de paso, en vez de curvas fractales (que todavía no había llegado Mandelbrot para bendecirlos con su nombre) "monstruos matemáticos" (síiii, en matemáticas hay otros monstruos, aunque menos feos que sus estudiantes!). En fin, que en el último ejemplo del que hemos hablado estaba claro que se trataba de un objeto que tenía que tener dimensión entre 1 y 2, es decir, 1'algo, o lo que es lo mismo, una dimensión fraccionaria. Pero con un par de ejemplitos a modo de imagen es como realmente se ve mejor. Ahí van:



ALGUNOS EJEMPLOS

- Curva de Koch o copo de nieve:
http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch

Esta curva se puede dibujar en un trozo de papel por lo que su área es finita, pero sin embargo, su perímetro es infinito, porque se observa cómo cada lado se genera tomando el lado anterior y formando 4 lados de longitud 1/3 del anterior. Como tomamos 4 lados de longitud 1/3 tenemos que hemos pasado a tener 4/3. Esto se aplica a cada lado y lo repites un mogollón de veces y queda que la longitud de la línea exterior es 4/3 elevado a "n". Si este "n" es infinito me queda una línea de longitud infinita (qué sa fumao éste...)

Se ve que es una curva, objeto de dimensión 1, que rellena toda una superficie, en este caso un cuadrado, objeto de dimensión 2 (y aquí paro que lo del comentario anterior ma dejao tocao).


Aquí puedes ver cómo se calcula eso de la dimensión fraccionaria, que puedes dejarlo perfectamente a un lado hasta que leas todo esto u olvidarlo si no te quieres calentar un poco la cabeza.
- Para los más osados:


OTROS EJEMPLOS MÁS

Pero hay muchos fractales en matemáticas, y aquí tienes algunos ejemplos de los fractales más clásicos y más conocidos (sí, no sólo es Clásica la Mahou y el Madrid-Barça). De todos ellos, con el que más se flipan en la carrera es con la curva de Cantor (a algunos les da mucho gusto, de hecho). Estos son:

- Conjunto de Cantor

- La alfombra de Sierpinski
equivalente 2D al conjunto de Cantor;

que sería la versión 3D.

- Triángulo de Sierpinky

- Conjunto de Mandelbrot
Probablemente el más famoso para el público en general

- Conjunto de Julia

- Relación del conjunto de Mandelbrot y el de Julia
Es un enlace algo más complicao pero las imágenes son taaaaan bonitas =D

- Y muchos más que puedes encontrar en internet. Por ejemplo,
La curva de Weierstrass, La curva de Hilbert, Movimiento browniano (Bachelier), La curva de Takagi, La isla de van Koch, El dragón de Lévy, Movimiento browniano fraccionario (Mandelbrot)



AUTOSIMILITUD

Como habrás podido observar ya a estas alturas, lo que le ocurre a un fractal se suele reproducir si hacemos como un "zoom" sobre él mismo; a esto es a lo que se le suele llamar Autosimilitud (intenta decirlo diez veces mu rápido, a ver si puedes). Aunque como siempre, no es tan fácil, pues hay varios tipos de Autosimilitud.

Cito a la wikipedia (pa dejar de darle a la tecla):

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

- Autosimilitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas.

- Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos.

- Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

También tienes un pdf al que le se le puede echar un vistazo y en el que visualmente se explica muy bien: http://www.math.arq.uva.es/~cmunuera/MaterialDocente/Fractales/Fractal_1.pdf



PROPIEDADES QUE DEBE CUMPLIR UN FRACTAL

Y bueno, ya después de todo esto que te he cascao, aunque no te lo creas, todavía no hemos dicho lo que es un fractal (ja, ja). Sí, claro, de verdad, te lo juro, no miento. Nooo, noooo, sigue leyendo!
A ver, te cuento:

Hemos hablado de sus "fracturas", de su dimensión y de su autosimilitud. Pero para que un objeto sea un fractal no tiene por qué cumplir todas estas propiedades, que se suelen dar en los más conocidos; sino que lo que se pide es que cumple alguna(s) de las siguientes:

- No puede ser descrito por propiedades geométricas tradicionales
- Es auto-similar de forma exacta, aproximada o estadísticamente.
- Se define mediante un algoritmo recursivo simple
- Su dimensión topológica es menor que su dimensión Hausdorff-Besicovitch, esto es, tiene dimensión fraccionaria.

(Aunque de hecho no se tiene todavía un consenso sobre la definición de fractal (a lo que tú te preguntarás porque te llevo calentando la cabeza durante los diez últimos minutos). Lo puedes ver aquí:


APLICACIONES O SITUACIONES EN LAS QUE APARECEN

Pero donde aparece el punto fuerte de los fractales, el que los ha hecho verdaderamente famosos junto con lo de la fumada de dimensión fraccionaria, es la relación que tienen los fractales para describir la naturaleza. Algunos dicen que los fractales no existen realmente en la naturaleza, y se suele contraatacar a ello alegando que puede ser, pero que en ese caso hay que aceptar que no existen tampoco circunferencias ni esferas ni rectas en el mundo (además de declararles herejes del dos más dos), puesto que las que vemos no son perfectas, geométricamente hablando. En realidad lo que se quiere decir con esto es que la geometría fractal no describe la naturaleza perfectamente pero sí que puede servir para aproximarla, y es ahí, en las situaciones que aparece y en sus aplicaciones donde ha pegado el verdadero boom.

En la realidad, los fractales, se diferencian de los fractales matemáticos por ser entidades finitas en vez de infinitas y los podemos ver en:

- La Naturaleza: como el romanescu, un verdura híbrida de brócoli y coliflor, o las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. Hojas de árboles, helechos,


- Sociedad: el mercado de valores y el crecimiento poblacional


- Comprensiones de imágenes:


- Música fractal: En los sonidos y en la música podemos encontrar distribuciones de frecuencias fractales, desde el ruido de una catarata o el golpeteo de las olas del mar al canto de un pájaro o a una obra de Bach (o de los Beatles)

- En la pintura: se encuentran obras de Dalí, Escher o Pollock con auténticos diseños fractales.


- En Arquitectura: se puede observar la Sagrada Familia de Gaudí, o los detalles filigranísticos del barroco como verdaderos fractales. Las catedrales góticas son buenos ejemplos de visión intuitiva fractal.


- Arte fractal:


- Por último, pero por supuesto, no por ello menos importante, decir que Nosotros también somos fractales.

Nuestros pulmones, el sistema sanguíneo, el cerebro, tienen estructuras fractales. Se ajustan a la propiedad de autosemejanza en los cambios de escala.

Los pulmones son unas superficies cerradas que poseen curvas de longitud "infinita" con grandes grupos de perfiles curvos con exactamente los mismos límites. Así es como maximizan los pulmones su superficie de intercambio. Por ejemplo, los bronquios en sus siete primeras ramificaciones tienen una dimensión fractal diferente a la dimensión de las ramificaciones de mayor nivel. Nótese que la superficie pulmonar puede cubrir una pista de tenis, mientras que su volumen casi cabe en una pelota de tenis.

Piénsese cómo las arterias ,que ocupan aproximadamente sólo el 3% del volumen del cuerpo, son capaces de llegar a todas las células del organismo para suministrar los nutrientes necesarios utilizando la menor cantidad posible de sangre y todo el proceso transcurriendo a través de interfaces comunes en contacto físico.

- y etc., etc., etc. Aquí están algunas de las fuentes:



VÍDEOS
Si buscas en youtube encontrarás un montonaco de vídeos (posiblemente más de los que quisieras ver).
Por ejemplo, aquí tenéis uno de la serie Más por Menos



REPASO
- Buenísima página en general:


Y ya con esto se termina la "primera lección". ¿Alguna duda?