En su momento me puse a buscar en sitios de internet para
buscar información sobre fractales pero la verdad es que sus explicaciones, o
bien se quedaban en algo muy liviano, o bien se introducían en aspectos un poco
complicados de comprender para una primera lectura, especialmente para aquellos
que no hayan realizado unos estudios de ciencias.
Con lo que viene a continuación espero ser lo bastante claro
para aquel o aquella que tengan un simple y mero interés en conocer por encima
lo que es un fractal, así como de dar una vista general con vistas a ampliarlas
para aquellos que gozan del background necesario como para una mayor
profundización del tema.
ORIGEN DEL NOMBRE
Un fractal es, lo primero de todo, un ente geométrico (se ha
erniaó el tío). Comienzo de nuevo.
Un fractal es, entre otras muchas cosas, y digo entre otras
muchas cosas porque luego te cuento, una figura que tiene muchos picos, que se
"rompe", que es angulosa, y que por tanto, en las matemáticas, no se
puede derivar, porque para derivar la ecuación de una curva se necesita que no
sea picuda. De ahí, de cómo un fractal se va "rompiendo" y tiene
picos o tiene formas iterativas no derivables es de donde surge su nombre, del
latín "fractus" o "frangere" o algo así porque yo no tengo
ni papa de latín y porque te lo digo de memoria. Pero bueno, eso es sólo el
nombre y es cómo se puso. En realidad un fractal es mucho más. Más adelante se
recogen las propiedades que debe cumplir un fractal para ser denominado como
tal, pero antes te cuento otra cosa. Lo de que no se pueda derivar es
importante porque los fractales lo que crean es una nueva geometría, alejada de
la geometría diferenciable y no tanto de la euclídea como generalmente se
piensa, y que se llama... geometría fractal (te esperabas algo más, eh?)
DIMENSIÓN FRACTAL
Una de las características más sorprendentes de los
fractales es su dimensión. Lo mismo has escuchado eso de que un fractal tiene
dimensión fraccionaria, es decir, que no tiene un número natural. No tiene
dimensión 1, ni 2, ni 3, ni ná de eso. ¿Cómo puede ser te preguntarás? ¡Estos
matemáticos están locos -gritó tu voz desgarrada mientras lo leías-! Pues bien,
es como un acuerdo que se ha hecho para describir cierta propiedad que se
explica en el siguiente párrafo. Se ha creado una nueva regla para calcular la
dimensión de un objeto de tal forma que respete las que hasta ahora conocemos,
es decir, que si tomamos esta forma de calcular dimensiones y se la aplicamos a
un folio nos sale dimensión 2.
Y lo dicho, este tipo de cálculo de dimensiones se creó
porque hay ciertos tipos de fractales (precisamente con los que se descubrieron
estas cosas) en los que se da el caso de que una figura cerrada que se puede
dibujar en un papel tiene un perímetro infinito (qué me comentas?), u otras,
que aún siendo curvas, es decir, objetos de dimensión 1, llegan a cubrir
superficies, esto es, objetos de dimensión 2; por lo que estas
"paradojas" hicieron replantearse el concepto de dimensión y
llamarles, ya de paso, en vez de curvas fractales (que todavía no había llegado
Mandelbrot para bendecirlos con su nombre) "monstruos matemáticos"
(síiii, en matemáticas hay otros monstruos, aunque menos feos que sus
estudiantes!). En fin, que en el último ejemplo del que hemos hablado estaba
claro que se trataba de un objeto que tenía que tener dimensión entre 1 y 2, es
decir, 1'algo, o lo que es lo mismo, una dimensión fraccionaria. Pero con un
par de ejemplitos a modo de imagen es como realmente se ve mejor. Ahí van:
ALGUNOS EJEMPLOS
- Curva de Koch o copo de nieve:
http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch
http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch
Esta curva se puede dibujar en un trozo de papel por lo que
su área es finita, pero sin embargo, su perímetro es infinito, porque se
observa cómo cada lado se genera tomando el lado anterior y formando 4 lados de
longitud 1/3 del anterior. Como tomamos 4 lados de longitud 1/3 tenemos que
hemos pasado a tener 4/3. Esto se aplica a cada lado y lo repites un mogollón
de veces y queda que la longitud de la línea exterior es 4/3 elevado a
"n". Si este "n" es infinito me queda una línea de longitud
infinita (qué sa fumao éste...)
- Curva de Peano:
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Peano
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Peano
Se ve que es una curva, objeto de dimensión 1, que rellena
toda una superficie, en este caso un cuadrado, objeto de dimensión 2 (y aquí
paro que lo del comentario anterior ma dejao tocao).
Aquí puedes ver cómo se calcula eso de la dimensión
fraccionaria, que puedes dejarlo perfectamente a un lado hasta que leas todo
esto u olvidarlo si no te quieres calentar un poco la cabeza.
- Para los más principiantes:
http://webs.um.es/jmz/DiseGrafSimula/alumnos_08_09/german_ros/index.files/fractal1_Intro%201.html
http://webs.um.es/jmz/DiseGrafSimula/alumnos_08_09/german_ros/index.files/fractal1_Intro%201.html
- Para los más osados:
OTROS EJEMPLOS MÁS
Pero hay muchos fractales en matemáticas, y aquí tienes
algunos ejemplos de los fractales más clásicos y más conocidos (sí, no sólo es
Clásica la Mahou y el Madrid-Barça). De todos ellos, con el que más se flipan en
la carrera es con la curva de Cantor (a algunos les da mucho gusto, de hecho).
Estos son:
- Conjunto de Cantor
- La alfombra de Sierpinski
equivalente 2D al conjunto de Cantor;
- La esponja de Menger,
http://es.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger
http://es.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger
que sería la versión 3D.
- Triángulo de Sierpinky
- Conjunto de Mandelbrot
Probablemente el más famoso para el público en general
- Conjunto de Julia
- Relación del conjunto de Mandelbrot y el de Julia
Es un enlace algo más complicao pero las imágenes son
taaaaan bonitas =D
- Y muchos más que puedes encontrar en internet. Por
ejemplo,
La curva de Weierstrass, La curva de Hilbert, Movimiento
browniano (Bachelier), La curva de Takagi, La isla de van Koch, El dragón de
Lévy, Movimiento browniano fraccionario (Mandelbrot)
AUTOSIMILITUD
Como habrás podido observar ya a estas alturas, lo que le ocurre
a un fractal se suele reproducir si hacemos como un "zoom" sobre él
mismo; a esto es a lo que se le suele llamar Autosimilitud (intenta decirlo
diez veces mu rápido, a ver si puedes). Aunque como siempre, no es tan fácil,
pues hay varios tipos de Autosimilitud.
Cito a la wikipedia (pa dejar de darle a la tecla):
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o
autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo,
aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente
deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
- Autosimilitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de
autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas.
- Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca
aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo
contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos.
- Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de
autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas
que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos
de fractales de este tipo.
También tienes un pdf al que le se le puede echar un vistazo
y en el que visualmente se explica muy bien: http://www.math.arq.uva.es/~cmunuera/MaterialDocente/Fractales/Fractal_1.pdf
PROPIEDADES QUE DEBE CUMPLIR UN FRACTAL
Y bueno, ya después de todo esto que te he cascao, aunque no
te lo creas, todavía no hemos dicho lo que es un fractal (ja, ja). Sí, claro,
de verdad, te lo juro, no miento. Nooo, noooo, sigue leyendo!
A ver, te cuento:
Hemos hablado de sus "fracturas", de su dimensión
y de su autosimilitud. Pero para que un objeto sea un fractal no tiene por qué
cumplir todas estas propiedades, que se suelen dar en los más conocidos; sino
que lo que se pide es que cumple alguna(s) de las siguientes:
- No puede ser descrito por propiedades geométricas
tradicionales
- Es auto-similar de forma exacta, aproximada o
estadísticamente.
- Se define mediante un algoritmo recursivo simple
- Su dimensión topológica es menor que su dimensión
Hausdorff-Besicovitch, esto es, tiene dimensión fraccionaria.
(Aunque de hecho no se tiene todavía un consenso sobre la
definición de fractal (a lo que tú te preguntarás porque te llevo calentando la
cabeza durante los diez últimos minutos). Lo puedes ver aquí:
APLICACIONES O SITUACIONES EN LAS QUE APARECEN
Pero donde aparece el punto fuerte de los fractales, el que
los ha hecho verdaderamente famosos junto con lo de la fumada de dimensión
fraccionaria, es la relación que tienen los fractales para describir la
naturaleza. Algunos dicen que los fractales no existen realmente en la
naturaleza, y se suele contraatacar a ello alegando que puede ser, pero que en
ese caso hay que aceptar que no existen tampoco circunferencias ni esferas ni
rectas en el mundo (además de declararles herejes del dos más dos), puesto que
las que vemos no son perfectas, geométricamente hablando. En realidad lo que se
quiere decir con esto es que la geometría fractal no describe la naturaleza
perfectamente pero sí que puede servir para aproximarla, y es ahí, en las
situaciones que aparece y en sus aplicaciones donde ha pegado el verdadero
boom.
En la realidad, los fractales, se diferencian de los
fractales matemáticos por ser entidades finitas en vez de infinitas y los
podemos ver en:
- La Naturaleza: como el romanescu, un verdura híbrida de
brócoli y coliflor, o las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los
ríos. Hojas de árboles, helechos,
- Sociedad: el mercado de valores y el crecimiento
poblacional
- Comprensiones de imágenes:
- Música fractal: En los sonidos y en la música podemos
encontrar distribuciones de frecuencias fractales, desde el ruido de una catarata
o el golpeteo de las olas del mar al canto de un pájaro o a una obra de Bach (o
de los Beatles)
- En la pintura: se encuentran obras de Dalí, Escher o
Pollock con auténticos diseños fractales.
- En Arquitectura: se puede observar la Sagrada Familia de
Gaudí, o los detalles filigranísticos del barroco como verdaderos fractales.
Las catedrales góticas son buenos ejemplos de visión intuitiva fractal.
- Arte fractal:
- Por último, pero por supuesto, no por ello menos
importante, decir que Nosotros también somos fractales.
Nuestros pulmones, el sistema sanguíneo, el cerebro, tienen
estructuras fractales. Se ajustan a la propiedad de autosemejanza en los
cambios de escala.
Los pulmones son unas superficies cerradas que poseen curvas
de longitud "infinita" con grandes grupos de perfiles curvos con
exactamente los mismos límites. Así es como maximizan los pulmones su
superficie de intercambio. Por ejemplo, los bronquios en sus siete primeras
ramificaciones tienen una dimensión fractal diferente a la dimensión de las
ramificaciones de mayor nivel. Nótese que la superficie pulmonar puede cubrir
una pista de tenis, mientras que su volumen casi cabe en una pelota de tenis.
Piénsese cómo las arterias ,que ocupan aproximadamente sólo
el 3% del volumen del cuerpo, son capaces de llegar a todas las células del
organismo para suministrar los nutrientes necesarios utilizando la menor
cantidad posible de sangre y todo el proceso transcurriendo a través de
interfaces comunes en contacto físico.
- y etc., etc., etc. Aquí están algunas de las fuentes:
VÍDEOS
Si buscas en youtube encontrarás un montonaco de vídeos
(posiblemente más de los que quisieras ver).
Por ejemplo, aquí tenéis uno de la serie Más por Menos
Por ejemplo, aquí tenéis uno de la serie Más por Menos
REPASO
- Buenísima página en general:
Y ya con esto se termina la "primera lección". ¿Alguna
duda?
